ফার্মাটের ছোট্ট উপপাদ্য হল প্রাথমিক সংখ্যা তত্ত্বের একটি মৌলিক উপপাদ্য, যা পূর্ণসংখ্যার মডুলো মৌলিক সংখ্যার গণনার ক্ষমতা প্রদান করে। এটি অয়লারের উপপাদ্যের একটি সুনির্দিষ্ট কেস, এবং প্রাথমিক সংখ্যা তত্ত্বের প্রয়োগে অপরিহার্য, যেমন প্রাথমিক পরীক্ষা এবং পাবলিক-কী ক্রিপ্টোগ্রাফি। এটিকে ফার্মাটের ছোট্ট উপপাদ্য হিসাবে উল্লেখ করা হয়।
ফার্মাটের উপপাদ্যটিকে একটি ফার্মাটের ছোট উপপাদ্যও বলা হয় যা সংজ্ঞায়িত করে যে P হল মৌলিক এবং 'a' হল একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা যা P দ্বারা বিভাজ্য নয় -
a P−1 ≡ 1 মোড P
দ্বিতীয় শর্ত বলে যে যদি P একটি মৌলিক হয় এবং a একটি পূর্ণসংখ্যা হয় তবে a P ≡ 1 মোড P.
প্রমাণ − Zp পূর্ণসংখ্যার সেট {0, 1…P-1} যখন একটি মডিউল P দ্বারা গুণ করা হয়, ফলাফলে Zp এর সমস্ত উপাদান অন্তর্ভুক্ত থাকে কিছু ক্রমানুসারে, অধিকন্তু ax 0 ≡ 0 mod P. সুতরাং, (P-1) সংখ্যাগুলি {a mod P, 2a mod P,…((P-1) a mod P)} শুধুমাত্র সংখ্যা {1, 2 ,…(P-1)} কিছু ক্রমে।
উভয় ধাপে সংখ্যাকে গুণ করা এবং ফলাফল মোড নেওয়ার ফলে P পাওয়া যায়
একটি x 2a x... x ((P-1)a)=[(a mod P) x (2a mod P) x …. x ((P-1) a mod P)] mod P
=[1 x 2 x…x (P-1)] মোড P
=(পৃ-১)! মোড পি
কিন্তু
a x 2a x…x ((P-1)a) =(P-1)!a P−1
(পৃ-১)! a P−1 ≡ (𝑃 − 1)! মোড পি
a P−1 ≡ 1 মোড P
p এর চেয়ে কম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সেট বিবেচনা করুন:{1, 2... p1} এবং প্রতিটি উপাদানকে a, modulo p দ্বারা গুণ করুন, সেট X ={a mod p, 2a mod p পেতে। . . (p1) a mod p}. X-এর কোনো উপাদানই শূন্যের অনুরূপ নয় কারণ p a কে ভাগ করে না।
উপরন্তু X-এর কোনো দুটি পূর্ণসংখ্যা একই নয়। এটি দেখতে, বিবেচনা করুন যে (ja ≡ p) যেখানে 1 ≤ p1. কারণ p, এটি সমীকরণের উভয় দিক থেকে একটি মুছে ফেলতে পারে যার ফলে − j≡ p হয়।
j এবং k উভয়ই p থেকে কম ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার কারণে এই চূড়ান্ত মিলটি অপ্রাপ্য। অতএব, এটা বোঝা যায় যে X-এর (p1) উপাদানগুলি সমস্তই ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, যেখানে দুটি উপাদান একই নেই৷
সংখ্যাসূচক − ফার্মাটের উপপাদ্য বলে যে যদি p মৌলিক হয় এবং a একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয় P দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাহলে a P−1 ≡ 1(মোড পি)।
অতএব, 3 10 ≡ 1(মোড 11)।
অতএব, 3 201 =(3 10 ) 20 x 3 ≡ 3 (মোড 11)।
ফার্মাটস সামান্য উপপাদ্য কখনও কখনও কিছু ব্যাখ্যার দ্রুত সমাধান আবিষ্কারের জন্য উপকারী। নিম্নলিখিত উদাহরণগুলি ধারণাটি দেখায়৷
৷উদাহরণ1 − 6 10 এর ফলাফল খুঁজুন মোড 11।
সমাধান
এখানে, আমাদের 6 10 আছে mod 11 =1. এটি Fermat এর ছোট উপপাদ্যের প্রথম সংস্করণ যেখানে p =11।
উদাহরণ2 − 3 12 এর ফলাফল খুঁজুন মোড 11।
সমাধান
তাই সূচক (12) এবং মডুলাস (11) সমান নয়। প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে এটিকে ফার্মাটের সামান্য উপপাদ্য ব্যবহার করে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে।
3 12 mod11 =(3 11 x3)mod11 =(3 11 mod11)(3 mod 11) =(3x3)mod11 =9
