অয়লারের উপপাদ্য হল ফার্মাটের ছোট্ট উপপাদ্যের একটি সাধারণীকরণ যা পূর্ণসংখ্যার ক্ষমতার সাথে ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার মডুলো। এটি প্রাথমিক সংখ্যা তত্ত্বের প্রয়োগ বৃদ্ধি করে, যেমন RSA ক্রিপ্টোসিস্টেমের জন্য তাত্ত্বিক সমর্থনকারী কাঠামো।
এই উপপাদ্যটি বলে যে প্রতিটি a এবং n এর জন্য যা তুলনামূলকভাবে প্রাইম −
$$\mathrm{a^{\phi \left ( n \right )}\, \equiv\, 1\left ( mod \, n \right ) }$$
যেখানে ф(n) হল অয়লারের টোটিয়েন্ট ফাংশন, যা n-এর তুলনায় ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা গণনা করে যেগুলি n থেকে তুলনামূলকভাবে প্রধান।
এই ধরনের পূর্ণসংখ্যার সেট −
বিবেচনা করুনR ={x1 , x2 , … xф(n) }, অর্থাৎ, R-এর প্রতিটি উপাদান xi হল অনন্য ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা n-এর সাথে ged(xi, n) =1। তারপর প্রতিটি উপাদানকে a এবং মডিউল n -
দিয়ে গুণ করুনS ={(ax1) mod n), (ax2 mod n), … (axф(n) mod n) }
কারণ a তুলনামূলকভাবে n এবং xi এর প্রাইম n, axi থেকে তুলনামূলকভাবে প্রধান এছাড়াও n থেকে তুলনামূলকভাবে প্রাইম হতে হবে। অতএব, S-এর সমস্ত সদস্য হল পূর্ণসংখ্যা যেগুলি n-এর থেকে কম এবং যেগুলি n-এর তুলনায় তুলনামূলকভাবে মৌলিক৷
S.
-এ কোন সদৃশ নেইযদি axi হয় mod n এবং n =axj mod n তারপর xi =xj
$$\mathrm{অতএব,\, \Pi _{i=1}^{\phi \left ( n \right )}\left ( ax_{i}\, mod\, n \right )=\Pi _{ i=1}^{\phi \left ( n \right )}\, x_{i}}$$
$$\mathrm{\Pi _{i=1}^{\phi \left ( n \right )}\, ax_{i}\equiv \Pi _{i=1}^{\phi \left ( n \ ডান )}\, x_{i}\left ( mod\, n \right )}$$
$$\mathrm{a^{\phi \left ( n \right )}\, x\left [ \Pi _{i=1}^{\phi \left ( n \right )}\, x_{i} \right ]=\Pi _{i=1}^{\phi \left ( n \right )}\, x_{i}\left ( mod\, n \right )}$$
$$\mathrm{a^{\phi \left ( n \right )}\equiv 1\left ( mod\, n \right )}$$
অয়লার টোটিয়েন্ট ফাংশন
অয়লারের টোটিয়েন্ট ফাংশন হল গাণিতিক গুণিতিক ফাংশন যা প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যা পর্যন্ত ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা গণনা করে যা সাধারণত 'n' নামে পরিচিত যেগুলি 'n'-এর একটি মৌলিক সংখ্যা এবং ফাংশনটি প্রাইম নম্বরের সংখ্যা বোঝার জন্য ব্যবহার করা যেতে পারে যেগুলি এক্সi প্রদত্ত পূর্ণসংখ্যা 'n' পর্যন্ত।
অয়লারের টোটিয়েন্ট ফাংশনকে অয়লার ফি ফাংশনও বলা হয়। এটি ক্রিপ্টোগ্রাফিতে একটি অপরিহার্য ভূমিকা পালন করে। এটি এন থেকে ছোট এবং n থেকে অপেক্ষাকৃত প্রাইম উভয়ই পূর্ণসংখ্যার সংখ্যা আবিষ্কার করতে পারে। সংখ্যার এই সেটগুলি $\mathrm{Z_{n}^{*}}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত (সংখ্যা যেগুলি n থেকে ছোট এবং n থেকে তুলনামূলকভাবে মৌলিক)।
অয়লারের টোটিয়েন্ট ফাংশন বিভিন্ন উপায়ে উপকারী। এটি RSA এনক্রিপশন সিস্টেমে ব্যবহার করা যেতে পারে, যা নিরাপত্তা লক্ষ্যে ব্যবহার করা যেতে পারে। ফাংশনটি মৌলিক সংখ্যা তত্ত্ব নিয়ে কাজ করে এবং এটি বড় গণনার গণনার ক্ষেত্রেও উপকারী। ফাংশনটি বীজগণিত গণনা এবং সরল সংখ্যায় ব্যবহার করা যেতে পারে।
ফাংশন নির্দেশ করতে ব্যবহৃত চিহ্ন হল ϕ, এবং এটি phi ফাংশন নামেও পরিচিত। ফাংশনটি ব্যবহারিক ব্যবহারের পরিবর্তে আরও তাত্ত্বিক ব্যবহার অন্তর্ভুক্ত করে। ফাংশনের বোধগম্য প্রয়োজনীয়তা সীমিত।
শুধুমাত্র তাত্ত্বিক ব্যাখ্যার পরিবর্তে বেশ কয়েকটি ব্যবহারিক উদাহরণের মাধ্যমে ফাংশনটি আরও ভালভাবে বোঝা যায়। অয়লারের টোটিয়েন্ট ফাংশন গণনার জন্য বেশ কিছু নিয়ম রয়েছে এবং বিভিন্ন সংখ্যার জন্য বিভিন্ন নিয়ম ব্যবহার করতে হয়।
অয়লার টোটিয়েন্ট ফাংশন ф(n) নিম্নলিখিত নিয়মগুলির সাহায্যে $\mathrm{Z_{n}^{*}}$-এ উপাদানের সংখ্যা গণনা করে −
-
ф(1) =0.
-
ф(P) =P − 1 যদি P একটি প্রাইম হয়।
-
ф(m x n) =ф(m) x ф(n) যদি m এবং n তুলনামূলকভাবে প্রধান হয়।
-
ф(P e ) =P e − P e−1 (যদি P একটি প্রাইম হয়।)
ф(n) এর মান পেতে নিম্নলিখিত চারটি নিয়মকে একত্রিত করা যেতে পারে, n হিসাবে ফ্যাক্টরাইজ করুন
$$\mathrm{n=P_{1}^{e1}\, x\,P_{2}^{e2}x\cdot \cdot \cdot P_{k}^{ek}}$$
$$\mathrm{\phi \left ( n \right )=\left ( P_{1}^{e1}-P_{1}^{e1-1} \right )\left ( P_{2}^{e2 }-P_{2}^{e2-1} \right )x\cdot \cdot \cdot x\left (P_{k}^{ek}-P_{k}^{ek-1} \right )}$ $
ф(n) খোঁজার অসুবিধা নির্ভর করে n-এর ফ্যাক্টরাইজেশন খুঁজে পাওয়ার অসুবিধার উপর।
