তথ্য নিরাপত্তা মডুলার পাটিগণিত কি?

মডুলার পাটিগণিত হল পূর্ণসংখ্যার জন্য পাটিগণিতের একটি কাঠামো, যেখানে সংখ্যাগুলি একটি নির্দিষ্ট মান পৌঁছানোর পরে "আশেপাশে মোড়ানো" হয়। মডুলার পাটিগণিত আমাদের সহজভাবে গোষ্ঠী, রিং এবং ক্ষেত্রগুলি তৈরি করতে সক্ষম করে যা বেশিরভাগ আধুনিক পাবলিক-কী ক্রিপ্টোসিস্টেমের মৌলিক নির্মাণ অংশ৷

উদাহরণ স্বরূপ, ডিফি-হেলম্যানের জন্য পূর্ণসংখ্যার গুনগত গোষ্ঠী প্রয়োজন একটি মৌলিক পিপি। বিভিন্ন গ্রুপ আছে যা কাজ করতে পারে। মডুলার বা ঘড়ির পাটিগণিত হল একটি সংখ্যা রেখার মডিউল N এর পরিবর্তে একটি বৃত্তের পাটিগণিত, এটি 0 থেকে N-1 থেকে শুধুমাত্র বারোটি সম্পূর্ণ সংখ্যা ব্যবহার করতে পারে।

বেশ কয়েকটি মৌলিক ক্রিয়াকলাপের জন্য অ্যালগরিদমের পদ্ধতিতে মডুলার গাণিতিক খুব ভালভাবে বোঝা যায়। এটি সিমেট্রিক কী ক্রিপ্টোগ্রাফিতে সীমিত ক্ষেত্র (AES) ব্যবহার করার একটি কারণ। ক্রিপ্টোগ্রাফি জটিল সমস্যার প্রয়োজন ছিল। কিছু সমস্যা মডুলার পাটিগণিতের সাথে কঠিন হয়ে যায়।

উদাহরণস্বরূপ, লগারিদমগুলি কেবলমাত্র সমস্ত পূর্ণসংখ্যার উপর গণনা করা হয় তবে এটি যখন একটি মডুলার হ্রাস প্রবর্তন করতে পারে তখন গণনা করা কঠিন হয়ে পড়ে। একইভাবে শিকড় আবিষ্কারের সাথে। মোড-পাটিগণিত হল ক্রিপ্টোগ্রাফির কেন্দ্রীয় গাণিতিক পদ।

বেশিরভাগ আধুনিক সংখ্যা তত্ত্ব এবং কিছু ব্যবহারিক সমস্যা মডুলার পাটিগণিতের সাথে সম্পর্কিত। গাণিতিক মডিউল এন-এ, এটি পূর্ণসংখ্যার পাটিগণিতের সাথে সম্পর্কিত, যেখানে এটি সমস্ত সংখ্যাকে চিনতে পারে যা N-এর গুণিতক দ্বারা পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ,

কিছু পূর্ণসংখ্যা m এর জন্য x=y mod N যদি x =y +mN হয়।

এই স্বীকৃতি সমস্ত পূর্ণসংখ্যাকে N একই শ্রেণীতে ভাগ করে। এটি সাধারণত তাদের সহজতম সদস্যদের দ্বারা এইগুলি নির্দেশ করতে পারে যেটি হল সংখ্যা 0, 1, ....N-1৷

যদি a একটি পূর্ণসংখ্যা হয় এবং n একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, একটি mod n উপস্থাপন করুন যখন a কে n দ্বারা ভাগ করা হয়। তারপর $\mathrm{a\, =\, \left \lfloor a/n\right \rfloor\, x\, n\, +\, \left ( a\, mod\, n \right);}$

উদাহরণ − 11 মোড 7 =4

তত্ত্ব − n হল পূর্ণসংখ্যার উপর একটি সমতুল্য সম্পর্ক। একটি সমতুল্য শ্রেণীতে সেই পূর্ণসংখ্যাগুলিকে অন্তর্ভুক্ত করা হয় যেগুলির n দ্বারা ভাগে সমান অবশিষ্টাংশ থাকে। সমতুল্য শ্রেণীগুলিকে একটি সমতুল্য ক্লাস মডুলো এনও বলা হয়। পূর্ণসংখ্যা a এবং b সমতুল্য বলার পরিবর্তে এবং এটি বলা যেতে পারে যে তারা সর্বসম্মত মডুলো n৷

একটি মডুলো n এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ সমস্ত পূর্ণসংখ্যার সেটকে বলা হয় রেসিডিউ ক্লাস [a]।

মডুলো অপারেটরের নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে -

• a ≡ b mod n if n|(a − b).

• (a mod n) =(b mod n) বোঝায় a ≡ b mod n.

• a ≡ b mod n বোঝায় b ≡ a mod n.

• a ≡ b mod n এবং b ≡ c mod n বোঝায় a ≡ c mod n.

মডুলার গাণিতিক ক্রিয়াকলাপের বৈশিষ্ট্য

• [(a mod n) + (b mod n)] mod n =(a + b) mod n

• [(a mod n) - (b mod n)] mod n =(a - b) mod n

• [(a mod n) x (b mod n)] mod n =(a x b) mod n

যাক Zn ={0, 1, 2,… (n-1)}, অবশেষ মডুলাস n এর সেট।