একটি নির্দেশিত গ্রাফে অয়লার সার্কিট

অয়লার পাথ হল একটি পাথ, যার মাধ্যমে আমরা প্রতিটি প্রান্তে একবার যেতে পারি৷ আমরা একাধিকবার একই শীর্ষবিন্দু ব্যবহার করতে পারি। অয়লার সার্কিট হল একটি বিশেষ ধরনের অয়লার পাথ। যখন অয়লার পথের শুরুর শীর্ষবিন্দুটিও সেই পথের শেষ শীর্ষের সাথে সংযুক্ত থাকে, তখন একে অয়লার সার্কিট বলা হয়।

একটি গ্রাফ ইউলারিয়ান কিনা তা পরীক্ষা করতে, আমাদের দুটি শর্ত পরীক্ষা করতে হবে −

• গ্রাফটি অবশ্যই সংযুক্ত থাকতে হবে।
• প্রতিটি শীর্ষবিন্দুর ইন-ডিগ্রী এবং আউট-ডিগ্রী অবশ্যই একই হতে হবে।

ইনপুট এবং আউটপুট

Input:
Adjacency matrix of the graph.
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 1 1
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0

Output:
Euler Circuit Found.

অ্যালগরিদম

ট্রাভার্স(u, পরিদর্শন করা)

ইনপুট: কোন নোডটি পরিদর্শন করা হয়েছে তা চিহ্নিত করতে স্টার্ট নোড u এবং ভিজিট করা নোড।

আউটপুট: সমস্ত সংযুক্ত শীর্ষবিন্দু অতিক্রম করুন৷

Begin
   mark u as visited
   for all vertex v, if it is adjacent with u, do
      if v is not visited, then
         traverse(v, visited)
   done
End

সংযুক্ত (গ্রাফ)

ইনপুট - গ্রাফ।

আউটপুট - গ্রাফ সংযুক্ত থাকলে সত্য।

Begin
   define visited array
   for all vertices u in the graph, do
      make all nodes unvisited
      traverse(u, visited)
      if any unvisited node is still remaining, then
         return false
   done
   return true
End

isEulerCircuit(গ্রাফ)

ইনপুট: প্রদত্ত গ্রাফ।

আউটপুট: একটি অয়লার সার্কিট পাওয়া গেলে সত্য৷

Begin
   if isConnected() is false, then
      return false
   define list for inward and outward edge count for each node

   for all vertex i in the graph, do
      sum := 0
      for all vertex j which are connected with i, do
         inward edges for vertex i increased
         increase sum
      done
      number of outward of vertex i is sum
   done

   if inward list and outward list are same, then
      return true
   otherwise return false
End

উদাহরণ

#include<iostream>
#include<vector>
#define NODE 5
using namespace std;

int graph[NODE][NODE] = {
   {0, 1, 0, 0, 0},
   {0, 0, 1, 0, 0},
   {0, 0, 0, 1, 1},
   {1, 0, 0, 0, 0},
   {0, 0, 1, 0, 0}
};
               
void traverse(int u, bool visited[]) {
   visited[u] = true;    //mark v as visited

   for(int v = 0; v<NODE; v++) {
      if(graph[u][v]) {
         if(!visited[v])
            traverse(v, visited);
      }
   }
}

bool isConnected() {
   bool *vis = new bool[NODE];
   //for all vertex u as start point, check whether all nodes are visible or not

   for(int u; u < NODE; u++) {
      for(int i = 0; i<NODE; i++)
         vis[i] = false;    //initialize as no node is visited
               
      traverse(u, vis);
         
      for(int i = 0; i<NODE; i++) {
         if(!vis[i])    //if there is a node, not visited by traversal, graph is not connected
            return false;
      }
   }
   return true;
}

bool isEulerCircuit() {
   if(isConnected() == false) {    //when graph is not connected
      return false;
   }

   vector<int> inward(NODE, 0), outward(NODE, 0);
         
   for(int i = 0; i<NODE; i++) {
      int sum = 0;
      for(int j = 0; j<NODE; j++) {
         if(graph[i][j]) {
            inward[j]++;    //increase inward edge for destination vertex
            sum++;    //how many outward edge
         }
      }
      outward[i] = sum;
   }

   if(inward == outward)    //when number inward edges and outward edges for each node is same
      return true;
   return false;
}

int main() {
   if(isEulerCircuit())
      cout << "Euler Circuit Found.";
   else
      cout << "There is no Euler Circuit.";
}

আউটপুট

Euler Circuit Found.