এই সমস্যায়, আমাদেরকে একটি সংখ্যা n দেওয়া হয়েছে যা সিরিজের nম পদটিকে সংজ্ঞায়িত করে। আমাদের কাজ হল 1*2*3 + 2*3*4+3*4*5 + সিরিজের যোগফল খুঁজে বের করার জন্য একটি প্রোগ্রাম তৈরি করা। . . C++-এ + n*(n+1)*(n+2) .
সমস্যা বর্ণনা − এখানে, আমরা 1*2*3 + 2*3*4+ 3*4*5 + সহ প্রদত্ত সিরিজের n টার্ম পর্যন্ত যোগফল খুঁজে পাব। . . + n*(n+1)*(n+2)। এটি n*(n+1)*(n+2) এর সমষ্টি হিসাবে ডিকোড করা যেতে পারে।
সমস্যাটি বোঝার জন্য একটি উদাহরণ নেওয়া যাক
ইনপুট
n = 5
আউটপুট
420
ব্যাখ্যা
1*2*3 + 2*3*4 + 3*4*5 + 4*5*6 + 5*6*7 = 6 + 24 + 60 + 120 + 210 = 420
সমাধান পদ্ধতি
সমস্যা সমাধানের একটি সহজ উপায় হল 1 থেকে n পর্যন্ত একটি লুপ ব্যবহার করা এবং প্রতিটি পুনরাবৃত্তিতে পণ্যটি খুঁজে বের করা এবং এটিকে sumVar এ যোগ করা। লুপ শেষ হওয়ার পরে, sumVar ফেরত দিন।
অ্যালগরিদম
- ধাপ 1 − লুপ i =1 থেকে n.
- ধাপ ১.১ − আপডেট sumVar, sumVar +=i*(i+1)*(i+2)
- ধাপ 2 − প্রিন্ট sumVar.
আমাদের সমাধানের কাজ চিত্রিত করার জন্য প্রোগ্রাম
উদাহরণ
#include <iostream>
using namespace std;
int calcSeriesSum(int n){
int sumVar = 0;
for(int i = 1; i <= n; i++)
sumVar = sumVar + ( (i)*(i+1)*(i+2) );
return sumVar;
}
int main(){
int n = 7;
cout<<"The sum of series till "<<n<<" is "<<calcSeriesSum(n);
return 0;
} আউটপুট
The sum of series till 7 is 1260
এই পদ্ধতিটি কার্যকর নয় কারণ এটি N.
এর আদেশের জটিলতা সময় নেয়অন্য পদ্ধতি সিরিজের যোগফলের জন্য গাণিতিক সূত্র ব্যবহার করছে। আমরা যেমন সমস্যার বিবরণে আলোচনা করেছি, সিরিজটিকে (n)*(n+1)*(n+2) এর সমষ্টি বলা যেতে পারে।
এই তথ্য ব্যবহার করে যোগফলের জন্য একটি সাধারণ সূত্র তৈরি করা যাক।
$Sum =\sum_{\square=1}^\square\blacksquare((\square)\ast(\square+1)\ast(\square+2))$
$=\sum\lbrace{(n^2+n)(n+2)}\rbrace$
$=\sum\lbrace{n^3 + n^2 + 2n^2 + 2n}\rbrace$
$=\sum\lbrace{n^3 +3n^2 + 2n}\rbrace$
$=\sum_{\square=1}^\square\blacksquare\square^3+3\sum_{\square=1}^\square\blacksquare\square^2+2\sum_{\square=1}^\ বর্গক্ষেত্র\blacksquare\square^\blacksquare$
এখন, যোগফলের জন্য সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে,
$\sum_{\square=1}^\square\blacksquare\square^3=\frac{(\square\ast(\square+1))^2}{2}$
$\sum_{\square=1}^\square\blacksquare\square^2=\frac{(\square\ast(\square+1)\ast(2\square+1))^\blacksquare}{6} $
$\sum_{\square=1}^\square\blacksquare\square^\blacksquare=\frac{(\square\ast(\square+1)^\blacksquare}{2}$
যোগফল সূত্রে এগুলি যোগ করলে,
$Sum=\frac{(\square\ast(\square+1))^2}{2^2}+\frac{3(\square\ast(\square+1)\ast(2\square+1) ))^\blacksquare}{6}+\frac{2(\square\ast(\square+1))^\blacksquare}{2}$
$=\frac{(\square\ast(\square+1))^\blacksquare}{2}[(n * (n+1))/2 ) + (3(2n+1)/3) + 2]$
$=\frac{(\square\ast(\square+1))^\blacksquare}{4}[n^2+ n + 4n + 2 + 4]$
$=\frac{(\square\ast(\square+1))^\blacksquare}{4}[n^2+ 5n + 6]$
$=\frac{(\square\ast(\square+1))^\blacksquare}{4}[(n+2)(n+3)]$
=¼[ (n)*(n+1)*(n+2)*(n+3) ]
সূত্র ব্যবহার করে nth মেয়াদ পর্যন্ত সিরিজের হিসাব করা হয়,
¼[ (n)*(n+1)*(n+2)*(n+3) ]
আমাদের সমাধানের কাজ চিত্রিত করার জন্য প্রোগ্রাম
উদাহরণ
#include <iostream>
using namespace std;
int calcSeriesSum(int n){
int sumVar = 0;
sumVar = ( (n)*(n + 1)*(n + 2)*(n + 3)/4 );
return sumVar;
}
int main(){
int n = 7;
cout<<"The sum of series till "<<n<<" is "<<calcSeriesSum(n);
return 0;
} আউটপুট
The sum of series till 7 is 1260
