গোষ্ঠী, বলয় এবং ক্ষেত্রগুলি হল গণিতের একটি শাখার গুরুত্বপূর্ণ উপাদান যাকে বিমূর্ত বীজগণিত বা আধুনিক বীজগণিত বলা হয়। বিমূর্ত বীজগণিতে, এটি সেই সেটগুলির সাথে সম্পর্কিত যার উপাদানগুলির উপর এবং এটি বীজগণিতভাবে কাজ করতে পারে; অর্থাৎ, এটি সেটের দুটি উপাদানকে একত্রিত করতে পারে, সম্ভবত একাধিক উপায়ে, এবং এটি সেটের একটি তৃতীয় উপাদান পেতে পারে।
গ্রুপ
একটি গ্রুপ (G) {G,∙} দ্বারা নির্দেশিত। এটি একটি বাইনারি অপারেশন ′ ∙ ′ সহ উপাদানগুলির একটি গ্রুপ যা চারটি বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে। গ্রুপের বৈশিষ্ট্যগুলি নিম্নরূপ -
-
বন্ধ − যদি a এবং b G-এর উপাদান হয়, তাহলে c =a ∙ bও সেট G-এর একটি উপাদান। এটি সংজ্ঞায়িত করতে পারে যে সেটের যেকোনো দুটি উপাদানের উপর ক্রিয়াকলাপ ব্যবহারের ফলাফল হল সেটের অন্য একটি উপাদান।
-
সহযোগিতা − যদি a, b, এবং c হয় G-এর উপাদান, তাই (a ∙ b) ∙ c =a ∙ (b ∙ c), মানে এটি কোন ক্রমানুসারে দুটি উপাদানের উপর ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করতে পারে এমন পদার্থ নয়৷
-
পরিচয় − G-এর সমস্ত a-এর জন্য, G-তে e ∙ a =a ∙ e =a সহ একটি উপাদান আছে।
-
বিপরীত − G-এর প্রতিটি a-এর জন্য, একটি উপাদান a’ থাকে যা a-এর বিপরীত হিসাবে পরিচিত যেটি a ∙ a′ =a′ ∙ a =e।
একটি গোষ্ঠী হল একটি আবেলিয়ান গোষ্ঠী যদি এটি নিম্নলিখিত চারটি বৈশিষ্ট্যকে সন্তুষ্ট করে এবং কমিউটিভিটির একটি অতিরিক্ত সম্পত্তি।
কমিউটিটিভিটি − G-এর সমস্ত a এবং b-এর জন্য, আমাদের একটি ∙ b =b ∙ a আছে৷
রিং − একটি রিং R {R, +, x} দ্বারা নির্দেশিত হয়। এটি দুটি বাইনারি ক্রিয়াকলাপ সহ উপাদানগুলির একটি সেট, যা যোগ এবং গুণ হিসাবে পরিচিত, যার মধ্যে সমস্ত a, b, c সহ R-এ নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধগুলি রাখা হয়েছে −
-
R হল সংযোজন সংক্রান্ত একটি অ্যাবেলিয়ান গোষ্ঠী যা R হল A1-এর মাধ্যমে A5 বৈশিষ্ট্যগুলিকে সন্তুষ্ট করে৷ সংযোজন গোষ্ঠীর পদ্ধতিতে, এটি পরিচয় উপাদান 0 এবং a এর বিপরীত − a হিসাবে নির্দেশ করে।
-
(M1):গুণের অধীনে বন্ধ − যদি এবং b R এর অন্তর্গত, তাহলে abও R-এ থাকে।
-
(M2):গুণের সহযোগীতা − a(bc)=(ab)c সকল a, b, c এর জন্য R.
-
(M3):বন্টনমূলক আইন −
a(b+c)=ab + ac সকল a, b, c এর জন্য R
(a+b)c=ac+bc সকল a, b, c-এর জন্য R
-
(M4):গুণের কম্যুটেটিভ − ab=ba for all a, b in R.
-
(M5):গুণগত পরিচয় − R-এ একটি উপাদান 1 রয়েছে যার মধ্যে রয়েছে a1=1a সকল a এর জন্য।
-
(M6):কোন শূন্য ভাজক নেই − যদি R-এ a, b এবং ab =0 হয়, তাহলে a =0 বা b =0।
ক্ষেত্র − একটি ক্ষেত্র F {F, +, x} দ্বারা নির্দেশিত হয়। এটি দুটি বাইনারি ক্রিয়াকলাপ সহ উপাদানগুলির একটি সেট যা যোগ এবং গুণ হিসাবে পরিচিত, যার মধ্যে সমস্ত a, b, c F এর জন্য নিম্নলিখিত স্বতঃসিদ্ধগুলি রাখা হয় −
-
F1 হল একটি পূর্ণসংখ্যা ডোমেন যা F হল A1 থেকে A5 এবং M1-এর মাধ্যমে M6 সন্তুষ্ট করে৷
-
(M7):গুণন বিপরীত − F-এর প্রতিটি a-এর জন্য, 0 ছাড়া, একটি উপাদান আছে a −1 F-তে যেমন aa −1 =(a −1 )a=1।
