ইন্টারভ্যাল-স্কেল্ড ভেরিয়েবল কী? স্ট্যান্ডার্ডাইজেশন এবং দূরত্ব মাপ

ইন্টারভ্যাল-স্কেল্ড ভেরিয়েবল হল تقريبية রৈখিক স্কেলের স liên tục ডেটা। উদাহরণ: ওজন ও উচ্চতা, ল্যাটিটিউড ও লองিটিউড কোঅর্ডিনেট (যেমন বাড়ি ক্লাস্টার করার সময়), আবহাওয়ার তাপমাত্রা। ব্যবহৃত মাপন একক ক্লাস্টারিং বিশ্লেষণকে প্রভাবিত করতে পারে।

মাপন এককের প্রভাব

উদাহরণস্বরূপ, উচ্চতার জন্য মিটার থেকে ইঞ্চি, বা ওজনের জন্য কিলোগ্রাম থেকে পাউন্ডে একক পরিবর্তন করলে ভিন্ন ক্লাস্টারিং কাঠামো তৈরি হতে পারে। সাধারণত, একটি ভেরিয়েবলকে ছোট এককে সংজ্ঞায়িত করলে সেটির রেঞ্জ বাড়ে এবং ফলস্বরূপ ফলাফল ক্লাস্টারিং কাঠামোর ওপর বড় প্রভাব ফেলে।

স্ট্যান্ডার্ডাইজেশন (মানकीকরণ)

ডেটা এককের পছন্দের ওপর নির্ভরশীলতা এড়াতে ডেটা স্ট্যান্ডার্ডাইজ করা আবশ্যক। মাপনকে স্ট্যান্ডার্ডাইজ করা সব ভেরিয়েবলে সমান ওজন দেওয়ার চেষ্টা করে। এটি বিশেষত উপকারী যখন ডেটা সম্পর্কে কোনো পূর্ব জ্ঞান নেই। কিন্তু কিছু অ্যাপ্লিকেশনে ব্যবহারকারী সাধেরণে একটি নির্দিষ্ট ভেরিয়েবল সেটকে অন্যদের চেয়ে বেশি ওজন দিতে চান। যেমন: বাস্কেটবল খেলোয়াড় প্রার্থীদের ক্লাস্টার করার সময় উচ্চতা ভেরিয়েবলকে বেশি ওজন দেওয়া পছন্দ করা যেতে পারে।

স্ট্যান্ডার্ডাইজেশনের একটি পদ্ধতি: z-স্কোর

1. গড় tuyệt đối বিচ্যুতি (mean absolute deviation), s_f গণনা করুন:

   $$\mathrm{s_{f}\:=\:\frac{1}{n}(|x_{1f}-m_{f}|+|x_{2f}-m_{f}|+\cdot\cdot\cdot+|x_{nf}-m_{f}|)}$$

   যেখানে x₁f … xₙf হল f-এর nটি পরিমাপ, এবং m_f হল f-এর গড় মান।

2. স্ট্যান্ডার্ডাইজড পরিমাপ বা z-স্কোর গণনা করুন:

   $$\mathrm{z_{if}\:=\:\frac{x_{if}-m_{f}}{s_{f}}}$$

গড় tuyệt đối বিচ্যুতি s_f, স্ট্যান্ডার্ড ডевиয়েশন σ_f-এর চেয়ে আউটলায়ারের সংক্রান্তে বেশি রবাস্ট। z-স্কোরের কারণে আউটলায়ারগুলোর মান খুব ছোট হয় না, তাই সেগুলো সনাক্ত করা যায়। স্ট্যান্ডার্ডাইজেশন কোনো নির্দিষ্ট অ্যাপ্লিকেশনে সহায়ক হতে পারে বা নাও হতে পারে; তাই এটি ব্যবহারকারীই সিদ্ধান্ত নেবে।

দূরত্ব মাপ

স্ট্যান্ডার্ডাইজেশনের পরে (বা নির্দিষ্ট অ্যাপ্লিকেশনে এটি ছাড়া), ইন্টারভ্যাল-স্কেল্ড ভেরিয়েবল দ্বারা সংজ্ঞায়িত অবজেক্টগুলোর মধ্যে অসদৃশতা (বা সাদৃশ্য) সাধারণত প্রতিটি অবজেক্ট যুগলের মধ্যে দূরত্বের ওপর ভিত্তি করে গণনা করা হয়।

ইউক্লিডিয়ান দূরত্ব (Euclidean Distance)

$$\mathrm{d(i, j)=\sqrt{(X_{i1}-X_{j1}})^2+{(X_{i2}-X_{j2}})^2+...+{(X_{in}-X_{jn}})^2}$$

যেখানে i = (xᵢ₁, xᵢ₂, … xᵢₙ) এবং j = (xⱼ₁, xⱼ₂, … xⱼₙ) দুটি n-ডাইমেনশনাল ডেটা অবজেক্ট।

ম্যানহ্যাটান (শহর ব্লক) দূরত্ব

$$\mathrm{d(i, j)=|X_{i1}-X_{j1}|+ |(X_{i2}-X_{j2}|+...+|(X_{in}-X_{jn}|}$$

দূরত্ব ফাংশনের গাণিতিক বৈশিষ্ট্য

• d(i, j) ≥ ০: দূরত্ব একটি নন-নেগেটিভ সংখ্যা।
• d(i, i) = ০: একটি অবজেক্ট থেকে নিজের দূরত্ব ০।
• d(i, j) = d(j, i): দূরত্ব একটি সমমিত ফাংশন।
• d(i, j) ≤ d(i, h) + d(h, j): অবজেক্ট i থেকে অবজেক্ট j-এ সরাসরি যাওয়া অন্য যেকোনো অবজেক্ট h-এর ওপর থেকে ঘুরে যাওয়ার চেয়ে বেশি নয় (ত্রিভুজ অসমতা)।