যেляетে আমরা সবাই জানি, পেন্টাগন এবং হেক্সাগন ফুটবলের সমানভাবে গুরুত্বপূর্ণ অংশ। এই আকৃতিগুলো পাজলের মতো ফিট হয়ে একটি পূর্ণ গোলাকার আকার তৈরি করে। তাই এখানে আমাদের একটি ফুটবল আছে, যাতে হেক্সাগন এবং পেন্টাগন সংখ্যা বের করতে হবে।
আমরা সমস্যাটি সহজে সমাধান করার জন্য অয়লার ক্যারাক্টেরিস্টিক (Euler characteristic) ব্যবহার করব। অয়লার ক্যারাক্টেরিস্টিক হলো একটি সংখ্যা যা যেকোনো টপোলজিক্যাল স্পেসের নির্দিষ্ট আকার বা কাঠামো বর্ণনা করে। তাই আমরা ফুটবলে পেন্টাগন এবং হেক্সাগন সংখ্যা বের করার জন্য এটি ব্যবহার করতে পারি।
অয়লার ক্যারাক্টেরিস্টিকের সূত্রে −
- χ(S) − নির্দিষ্ট সারফেস S-এর জন্য একটি পূর্ণসংখ্যা
- F − ফেস (মুখ)
- G − গ্রাফ
- V − ভার্টেক্স (শিরোনাম)
- E − এজ (বাহু) যা S-এ এম্বেডেড।
আমাদের আছে,
V - E + F = χ(S)
V - E + F = 2 ……(A) { গোলক বা স্ফিয়ারের জন্য χ(S) = 2 }
মান লইয়া যাক, পেন্টাগন সংখ্যা = P এবং হেক্সাগন সংখ্যা = H
ভার্টেক্স সংখ্যা হবে −
হেক্সাগনের ৬টি ভার্টেক্স (6*H) + পেন্টাগনের ৫টি ভার্টেক্স (5*P)।
ভার্টেক্স সংখ্যা, V = (6*H + 5*P), কিন্তু আমরা প্রতিটি ভার্টেক্স তিনবার কাউন্ট করেছি।
তাই ভার্টেক্স সংখ্যা, V = (6*H + 5*P) / 3 ……(১)
এজ সংখ্যা হবে −
হেক্সাগনের ৬টি এজ (6*H) + পেন্টাগনের ৫টি এজ (5*P)।
এজ সংখ্যা, E = (6*H + 5*P)। কিন্তু প্রতিটি এজ দুবার কাউন্ট হয়েছে।
অতএব এজ সংখ্যা, E = (6*H + 5*P) / 2 ……(২)
ফেস সংখ্যা হবে −
হেক্সাগন সংখ্যা (H) + পেন্টাগন সংখ্যা (P)
F = (H + P) ……(৩)
(১), (২) এবং (৩) সমীকরণ (A)-এ বসিয়ে −
V - E + F = 2 [(6*H + 5*P)/3] - [ (6*H + 5*P)/3 ] + (H + P) = 2
সমীকরণ সমাধান করলে,
P = 12
হেক্সাগন সংখ্যা বের করতে, আমরা জানি একটি পেন্টাগনকে একটি হেক্সাযগন ঘেরে থাকে, কিন্তু আমরা প্রতিটি আডজেসেন্ট পেন্টাগনের জন্য প্রতিটি হেক্সাগন তিনবার কাউন্ট করেছি।
হেক্সাগন সংখ্যা = 5 * P / 3 = (5 * 12) / 3 H = 20
শেষে আমরা পেলাম একটি ফুটবলে −
হেক্সাগন সংখ্যা − ২০
পেন্টাগন সংখ্যা − ১২
উপসংহার
এভাবেই আমরা অয়লার ক্যারাক্টেরিস্টিক ব্যবহার করে ফুটবলে পেন্টাগন এবং হেক্সাগন সংখ্যা বের করতে পারি। পেন্টাগন এবং হেক্সাগন ফুটবলের আকার তৈরিতে বড় ভূমিকা পালন করে। এই দুটি আকৃতি একসাথে বন্ধ होकर ফুটবলের গোলাকার আকার তৈরি করে। উপরের সমাধানে দেখুন আমরা বিভিন্ন সমীকরণ ব্যবহার করে ফুটবলে পেন্টাগন এবং হেক্সাগনের প্রয়োজনীয় সংখ্যা বের করেছি।
