একটি সংখ্যার প্রিমিটিভ রুট কী?
প্রতি ইন্টিজার যা n-এর সাথে রিলেটিভলি প্রাইম, সেটি g মড n-এ কনগ্রুয়েন্ট, যেখানে g এবং n প্রিমিটিভ রুট। অর্থাৎ, ইন্টিজার g হলো প্রিমিটিভ রুট (মড n) যদি প্রতিটি a মান যা n-এর সাথে রিলেটিভলি প্রাইম, তার জন্য একটি ইন্টিজার z থাকে যাতে g^z ≡ a (mod n)।
একটি সংখ্যার প্রিমিটিভ রুট কীভাবে বের করবেন?
অয়লারের টোটিয়েন্ট ফাংশনে, φ = n-1 (যদি n প্রাইম হয়)। ১। এরপর φ-এর প্রাইম ফ্যাক্টরগুলো দিয়ে সব পাওয়ার ক্যালকুলেট করুন। i=2 থেকে n-1 পর্যন্ত সব পাওয়ার এর জন্য (i^powers) mod n ক্যালকুলেট করুন।
১১-এর প্রিমিটিভ রুট কী?
২, ৬, ৭, ৮ (মড ১১)।
৩১-এর প্রিমিটিভ রুটগুলো কী?
৩, ১১, ১২, ১৩, ১৭, ২১, ২২, ২৪ (মড ৩১)।
প্রিমিটিভ রুট বের করার পদ্ধতি (পুনরাবৃত্তি)
একটি ইন্টিজার r মডুলো n-এ অইলার টোটিয়েন্ট ফাংশন φ(n)-এর সাথে একই মাল্টিপ্লিকেটিভ অর্ডার থাকে। যদি n প্রাইম হয়, তবে φ(n) = n-1। অইলারের টোটিয়েন্ট ফাংশনে φ = n-1, এর প্রাইম ফ্যাক্টরগুলো বের করুন (n প্রাইম ধরে)।
প্রিমিটিভ রুট উদাহরণ সহ ব্যাখ্যা
উদাহরণ: ১৪ মডুলো ৩ এবং ৫ প্রিমিটিভ রুট। ১৫-এর জন্য φ(15)=৮ কনগ্রুয়েন্স ক্লাস: [১, ২, ৪, ৭, ৮, ১১, ১৩, ১৪]।
১৩-এর প্রিমিটিভ রুট কীভাবে বের করবেন?
প্রাইম p-এর জন্য প্রিমিটিভ রুটের সংখ্যা φ(p-1)। p=13 হলে, φ(12)=4। প্রিমিটিভ রুটগুলো: ২, ৬, ৭, ১১ (মড ১৩)।
১১-এর প্রিমিটিভ রুট কীভাবে বের করবেন? (পুনরাবৃত্তি)
মড ১১-এ প্রিমিটিভ রুট: ২, ৬, ৭, ৮। প্রতিটি ইউনিটের প্রথম φ(11)=১০ পাওয়ার ক্যালকুলেট করে চেক করুন সব পাওয়ার প্রেজেন্ট কিনা।
২৯-এর প্রিমিটিভ রুট কীভাবে বের করবেন?
২ primitive root মড ২৯। gcd(n,28)=1 হলে 2^n mod 29 প্রিমিটিভ রুট। প্রিমিটিভ রুটগুলো: ২, ৩, ৮, ১০, ১১, ১৪, ১৫, ১৮, ১৯, ২১, ২৬, ২৭।
১২-এর প্রিমিটিভ রুট কী?
১২-এর প্রিমিটিভ রুট: ৫, ৭, ১১ (মড ১২)।
২ কীভাবে ১১-এর প্রিমিটিভ রুট তা প্রমাণ করবেন?
২^৫=৩২≡১০ (mod 11), ২^১⁰=১০২৪≡১ (mod 11)। অর্ডার ১০, যা φ(11)=১০, তাই ২ প্রিমিটিভ রুট।
১৩-এর প্রিমিটিভ রুট কী? (পুনরাবৃত্তি)
২, ৬, ৭, ১১ (মড ১৩)।
২৩-এর প্রিমিটিভ রুটগুলো কী?
φ(23)=22। a^2 ≠1 এবং a^11 ≠1 (mod 23) চেক করলে ৫ প্রিমিটিভ রুট।
১৭-এর প্রিমিটিভ রুটগুলো কী?
৩ primitive root মড ১৭। এর অড্ড পাওয়ারগুলো: ৩, ১০, ৫, ১১, ১৪, ৭, ১২, ৬ (মড ১৭)।
