সি/সি++-এ শর্তাধীন সম্ভাবনার জন্য বেইজ থিওরেম

শর্তাধীন সম্ভাবনা P(A|B) দ্বারা নির্দেশিত হল একটি ঘটনা 'A'-এর ঘটিত হওয়ার সম্ভাবনা যেহেতু ঘটনা 'B' ইতিমধ্যে ঘটেছে।

শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্র -

P(A|B) = P( A⋂B ) / P(B)

বেইজের থিওরেম

এটি সেই সূত্রটি যা পরস্পর নির্ভরশীল ঘটনাগুলোর ঘটনার সম্ভাবনার মধ্যে সম্পর্ক দেখায় অর্থাৎ এটি তাদের শর্তাধীন সম্ভাবনার মধ্যে সম্পর্ক দেয়।

একটি ঘটনা A এবং অন্য একটি ঘটনা B দেওয়া থাকলে, বেইজের থিওরেম অনুযায়ী,

P(A/B) = {P(B/A) * P(A)} / P(B)

চলুন বেইজের থিওরেমের সূত্রটি উদ্ভাবন করি,

এজন্য আমরা শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্রটি ব্যবহার করব,

P(A|B) = P( A?B ) / P(B) —- 1 P(B|A) = P( B?A ) / P(A) —- 2

আমরা জানি A⋂B এবং B⋂A একই, সুতরাং আমরা সমীকরণ ২-এ B⋂A-এর মান A⋂B দিয়ে প্রতিস্থাপন করতে পারি।

P(B/A) = P(A⋂B) / P(A) P(B/A) * P(A) = P(A⋂B) —- 3

এখন, সমীকরণ ১-এ এই মানটি A?B-এর জন্য ব্যবহার করে আমরা বেইজের থিওরেমের সূত্র পাব।

P(A/B) = {P(B/A) * P(A)} / P(B)

বেইজের থিওরেম-এর কিছু উদ্ভাবন,

গুণনীয়ক নিয়ম

সমীকরণ ৩-এ বর্ণিত, এটি বলে যে একই পরীক্ষায় উভয় ঘটনার ঘটনোর সম্ভাবনা ঘটনার শর্তাধীন সম্ভাবনা এবং সাক্ষ্য ঘটনার ঘটনার সম্ভাবনার গুণফলের সমান।

P(A?B) = P(A/B) * P(B)

এই নিয়ম থেকে আমরা দুটি গুরুত্বপূর্ণ সূত্র উদ্ভাবন করতে পারি -

যদি A⊆B অর্থাৎ A, B-এর উপসেট হয় যानी A-এর সমস্ত উপাদান B-তে থাকে, তবে

P(A⋂B) = P(A), তাহলে P(A/B) = P(A) / P(B)

যদি B⊆A অর্থাৎ B, A-এর উপসেট হয় যানি B-এর সমস্ত উপাদান A-তে থাকে, তবে

P(A⋂B) = P(B), তাহলে P(A/B) = 1

তিনটির অধিক ঘটনার জন্য বেইজের থিওরেম -

যদি আমাদের তিনটির অধিক পরস্পর নির্ভরশীল ঘটনা থাকে, তবে তাদের শর্তাধীন সম্ভাবনার নিম্নলিখিত সম্পর্ক থাকবে,

P(X1/Y) = (P(X1)*P(Y/X1) / [P(X1 * P(Y/X1)) + P(X2 * P(Y/X2)) + P(X3 * P(Y/X3)) + …]