প্রথম n বিজোড় সংখ্যার বর্গের যোগফল

প্রথম nটি বিজোড় প্রাকৃতিক সংখ্যার বর্গের যোগফল বের করা।

ফর্মুলা

Σ(2i-1)² for i=1 to n

যা সরলীকৃত হয়: n(2n-1)(2n+1)/3

উদাহরণ

n = 3
1² + 3² + 5² = 1 + 9 + 25 = 35

সমাধান

// লুপ ব্যবহার
const squaredSumLoop = (n) => {
  let sum = 0;
  for (let i = 1; i <= n; i++) {
    const odd = 2 * i - 1;
    sum += odd * odd;
  }
  return sum;
};

// গাণিতিক ফর্মুলা (O(1) - সবচেয়ে দ্রুত)
const squaredSumFormula = (n) => {
  return n * (2 * n - 1) * (2 * n + 1) / 3;
};

// ফাংশনাল পদ্ধতি
const squaredSumFP = (n) => {
  return Array.from({ length: n }, (_, i) => 2 * i + 1)
    .reduce((sum, x) => sum + x * x, 0);
};

// টেস্ট
console.log(squaredSumLoop(3));      // 35
console.log(squaredSumFormula(3));   // 35
console.log(squaredSumFP(3));        // 35

// বড় n এর জন্য
console.log(squaredSumFormula(1000)); // 1333333000 (ইনস্ট্যান্ট)

গাণিতিক প্রমাণ

Σ(2k-1)² = Σ(4k² - 4k + 1) = 4Σk² - 4Σk + Σ1

= 4[n(n+1)(2n+1)/6] - 4[n(n+1)/2] + n

= n(2n-1)(2n+1)/3

প্রথম n বিজোড় সংখ্যার বর্গের যোগফল - JavaScript

ফর্মুলা

উদাহরণ

সমাধান

গাণিতিক প্রমাণ

উৎপাদন