গণিতে, একটি মডুলার সমীকরণ মডুলি দ্বারা সন্তুষ্ট একটি বীজগণিতীয় সমীকরণ , মডুলি সমস্যা অর্থে। অর্থাৎ, একটি মডুলি স্পেসে অনেকগুলি ফাংশন দেওয়া হলে, একটি মডুলার সমীকরণ হল তাদের মধ্যে থাকা একটি সমীকরণ, বা অন্য কথায় মডিউলির একটি পরিচয়৷
মডুলার সমীকরণ শব্দটির সবচেয়ে ঘন ঘন ব্যবহার উপবৃত্তাকার বক্ররেখার জন্য মডুলি সমস্যার সাথে সম্পর্কিত। সেক্ষেত্রে, মডিউলির স্থান নিজেই এক মাত্রার। এর অর্থ হল যে কোন দুটি যুক্তিযুক্ত ফাংশন F এবং G , মডুলার বক্ররেখার ফাংশন ক্ষেত্রে, একটি মডুলার সমীকরণকে সন্তুষ্ট করবে P(F, G) =0 P এর সাথে জটিল সংখ্যার উপর দুটি চলকের একটি অ-শূন্য বহুপদী। F এবং G-এর উপযুক্ত নন-ডিজেনারেট পছন্দের জন্য , সমীকরণ P(X,Y) =0 আসলে মডুলার বক্ররেখা সংজ্ঞায়িত করবে।
আপনি এইমাত্র ফর্মটির একটি অদ্ভুত ধরনের গাণিতিক অভিব্যক্তি দেখেছেন
B ≡ (A mod X)
এটি বলে যে B A মডুলো X এর সাথে সঙ্গতিপূর্ণ। আসুন একটি উদাহরণ নেওয়া যাক,
21 ≡ 5( মোড 4)
একটি প্রতীক equiv মানে "সমতা"। উপরের সমীকরণে, 21 এবং 5 সমতুল্য। এর কারণ হল 21 মডুলো 4 =1 হল 5 মডুলো 4 =1 এর সমান। আরেকটি উদাহরণ হল 51 ≡ 16( mod 7)
এই সমস্যায়, আমাদের দুটি পূর্ণসংখ্যা a এবং b আছে এবং আমাদের সম্ভাব্য মানের সংখ্যা বের করতে হবে x যেগুলি মডুলার সমীকরণ অনুসরণ করে (A mod X)=B যেখানে মডুলার সমীকরণের X সমাধান।
উদাহরণস্বরূপ
Input: A = 26, B = 2 Output: X can take 6 values
ব্যাখ্যা
X এর যেকোনো একটির সমান হতে পারে {3, 4, 6, 8, 12, 24} কারণ A মডুলাস এই মানের যেকোনো একটি 2 i এর সমান। e., (26 mod 3) =(26 mod 4) =(26 mod 6) =(26 mod 8) =.... =2
আমাদের সমীকরণ A mod X =B
আছেশর্তাবলী
যদি (A =B) তাহলে অসীম অনেকগুলি মান থাকবে যেখানে A সর্বদা X থেকে বড় হবে।
যদি (A
এখন শুধুমাত্র শেষ কেসটি বাকি (A> B)।
এখন, এই ক্ষেত্রে, আমরা সম্পর্ক ব্যবহার করব
লভ্যাংশ =ভাজক * ভাগফল + অবশিষ্ট
X অর্থাৎ ভাজককে দেওয়া হয়েছে A অর্থাৎ লভ্যাংশ এবং B অর্থাৎ অবশিষ্টাংশ।
এখন
A =X * ভাগফল + B
ভাগফলকে Y
∴ A =X * Y + B
A - B =X * Y
∴ Y এর অবিচ্ছেদ্য মান পেতে,
আমাদের সমস্ত X নিতে হবে যাতে X ভাগ করে (A - B)
∴ X হল (A - B) এর একটি ভাজক
(A – B) এর ভাজক খুঁজে বের করা হল প্রধান সমস্যা এবং এই ধরনের ভাজকের সংখ্যা হল সম্ভাব্য মান X নিতে পারে।
আমরা জানি যে A mod X সমাধানের মান হবে (0 থেকে X – 1) এই ধরনের সমস্ত X নিন যেমন X> B।
এইভাবে আমরা এই বলে উপসংহারে পৌঁছাতে পারি যে (A – B) এর ভাজকের সংখ্যা B এর থেকে বেশি, সম্ভাব্য সমস্ত মান X সহ যা A mod X =B
উদাহরণ
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int Divisors(int A, int B) {
int N = (A - B);
int D = 0;
for (int i = 1; i <= sqrt(N); i++) {
if ((N % i) == 0) {
if (i > B)
D++;
if ((N / i) != i && (N / i) > B)
D++;
}
}
return D;
}
int PossibleWaysUtil(int A, int B) {
if (A == B)
return -1;
if (A < B)
return 0;
int D = 0;
D = Divisors(A, B);
return D;
}
int main() {
int A = 26, B = 2;
int Sol = PossibleWaysUtil(A, B);
if (Sol == -1) {
cout <<" X can take Infinitely many values greater than " << A << "\n";
} else {
cout << " X can take " << Sol << " values\n";
return 0;
}
}
