এই সমস্যায়, আমাদের দুটি মান n এবং একটি মৌলিক সংখ্যা p দেওয়া হয়েছে। আমাদের কাজ হল Modulo p এর অধীনে Square Root খুঁজে বের করা (যখন p 4*i + 3 আকারে থাকে)। এখানে, p আকারের (4*i + 3) অর্থাৎ i> 1 এর জন্য p % 4 =3 এবং p একটি মৌলিক সংখ্যা।
এখানে কিছু সংখ্যা আছে, 7, 11, 19, 23, 31...
সমস্যাটি বোঝার জন্য একটি উদাহরণ নেওয়া যাক,
Input : n = 3, p = 7 Output :
সমাধান পদ্ধতি
সমস্যার একটি সহজ সমাধান একটি লুপ ব্যবহার করা হয়. আমরা 2 থেকে (p - 1) লুপ করব। এবং প্রতিটি মানের জন্য, মডুলো p n এর অধীনে এর বর্গটি বর্গমূল কিনা তা পরীক্ষা করুন।
উদাহরণ
আমাদের সমাধানের কাজ চিত্রিত করার জন্য প্রোগ্রাম
#include <iostream>
using namespace std;
void findSquareRootMod(int n, int p) {
n = n % p;
for (int i = 2; i < p; i++) {
if ((i * i) % p == n) {
cout<<"Square root under modulo is "<<i;
return;
}
}
cout<<"Square root doesn't exist";
}
int main(){
int p = 11;
int n = 3;
findSquareRootMod(n, p);
return 0;
} আউটপুট
Square root under modulo is 5
আরেকটি পদ্ধতি হল সরাসরি সূত্র ব্যবহার করা,
p আকারে থাকলে (4*i + 3) এবং বর্গমূলের অস্তিত্ব থাকলে তা হবে $+/-n^{(p+1)/4}$
উদাহরণ
আমাদের সমাধানের কাজ চিত্রিত করার জন্য প্রোগ্রাম
#include <iostream>
using namespace std;
int calcPowerVal(int x, int y, int p) {
int res = 1;
x = x % p;
while (y > 0) {
if (y & 1)
res = (res * x) % p;
y /= 2;
x = (x * x) % p;
}
return res;
}
void squareRoot(int n, int p) {
if (p % 4 != 3) {
cout << "Invalid Input";
return;
}
n = n % p;
int sr = calcPowerVal(n, (p + 1) / 4, p);
if ((sr * sr) % p == n) {
cout<<"Square root under modulo is "<<sr;
return;
}
sr = p - sr;
if ((sr * sr) % p == n) {
cout << "Square root is "<<sr;
return;
}
cout<<"Square root doesn't exist ";
}
int main() {
int p = 11;
int n = 4;
squareRoot(n, p);
return 0;
} আউটপুট
Square root under modulo is 9
