এই সমস্যায়, আমাদের দুটি মান n এবং একটি মৌলিক সংখ্যা p দেওয়া হয়েছে। আমাদের কাজ হল Modulo p.
এর অধীনে স্কয়ার রুট খুঁজে বের করাসমস্যাটি বোঝার জন্য একটি উদাহরণ নেওয়া যাক,
Input : n = 4, p = 11 Output : 9
সমাধান পদ্ধতি
এখানে, আমরা Tonelli-Shanks Algorithm ব্যবহার করব .
টোনেলি-শ্যাঙ্কস অ্যালগরিদম x2 =n (mod p) ফর্মের একত্রে x একটি মান সমাধান করতে মডুলার পাটিগণিত ব্যবহার করা হয়।
শ্যাঙ্কের টোনেলি অ্যালগরিদম -
ব্যবহার করে বর্গমূল মডুলো খুঁজে বের করার অ্যালগরিদমধাপ 1 − $(n^{((p-1)/2)})(mod\:p)$ এর মান খুঁজুন, যদি এর মান p -1 হয়, তাহলে মডুলার বর্গমূল সম্ভব নয়।
ধাপ 2 − তারপর, আমরা p - 1 মানটি ব্যবহার করব (s * 2 e ) হিসাবে ) যেখানে s বিজোড় এবং ধনাত্মক এবং e ধনাত্মক।
ধাপ 3 − মান গণনা করুন q^((p-1)/2)(mod p) =-1
পদক্ষেপ 4৷ − m 0 এর চেয়ে বড় জন্য লুপ ব্যবহার করুন এবং x এর মান আপডেট করুন,
m খুঁজে বের করুন যেমন b^(2^m) - 1(mod p) যেখানে 0 <=m <=r-1।
যদি M 0 হয়, তাহলে x দিন অন্যথায় মান আপডেট করুন,
x = x * (g^(2 ^ (r - m - 1)) b = b * (g^(2 ^ (r - m)) g = (g^(2 ^ (r - m - 1)) r = m
উদাহরণ
আমাদের সমাধানের কাজ চিত্রিত করার জন্য প্রোগ্রাম,
#include <iostream>
#include <math.h>
using namespace std;
int powerMod(int base, int exponent, int modulus) {
int result = 1;
base = base % modulus;
while (exponent > 0) {
if (exponent % 2 == 1)
result = (result * base)% modulus;
exponent = exponent >> 1;
base = (base * base) % modulus;
}
return result;
}
int gcd(int a, int b) {
if (b == 0)
return a;
else
return gcd(b, a % b);
}
int orderValues(int p, int b) {
if (gcd(p, b) != 1) {
return -1;
}
int k = 3;
while (1) {
if (powerMod(b, k, p) == 1)
return k;
k++;
}
}
int findx2e(int x, int& e) {
e = 0;
while (x % 2 == 0) {
x /= 2;
e++;
}
return x;
}
int calcSquareRoot(int n, int p) {
if (gcd(n, p) != 1) {
return -1;
}
if (powerMod(n, (p - 1) / 2, p) == (p - 1)) {
return -1;
}
int s, e;
s = findx2e(p - 1, e);
int q;
for (q = 2; ; q++) {
if (powerMod(q, (p - 1) / 2, p) == (p - 1))
break;
}
int x = powerMod(n, (s + 1) / 2, p);
int b = powerMod(n, s, p);
int g = powerMod(q, s, p);
int r = e;
while (1) {
int m;
for (m = 0; m < r; m++) {
if (orderValues(p, b) == -1)
return -1;
if (orderValues(p, b) == pow(2, m))
break;
}
if (m == 0)
return x;
x = (x * powerMod(g, pow(2, r - m - 1), p)) % p;
g = powerMod(g, pow(2, r - m), p);
b = (b * g) % p;
if (b == 1)
return x;
r = m;
}
}
int main() {
int n = 3;
int p = 13;
int sqrtVal = calcSquareRoot(n, p);
if (sqrtVal == -1)
cout<<"Modular square root is not exist";
else
cout<<"Modular square root of the number is "<<sqrtVal;
} আউটপুট
Modular square root of the number is 9
